Mathematik · Q2.1 Vertiefung der Analysis

Umkehrfunktionen verstehen

Die interaktive Lernumgebung erschließt Umkehrfunktionen grafisch und algebraisch. Lernende bewegen gekoppelte Punkte auf dem Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion und beobachten, wie aus $P(x|y)$ der Punkt $P'(y|x)$ entsteht. Dadurch wird der Koordinatentausch als Spiegelung der Graphen an $y=x$ sichtbar. Als Beispiele stehen eine lineare Funktion, eine eingeschränkte quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion zur Verfügung; zusätzlich können eigene, im gewählten Intervall eindeutig umkehrbare Funktionen eingegeben werden.

Weitere Bereiche zeigen das algebraische Bestimmen der Umkehrfunktion durch Vertauschen von $x$ und $y$ , die Probe durch Verkettung sowie den Tausch von Definitions- und Wertemenge. Mit dem Horizontalen-Linien-Test untersuchen die Lernenden außerdem Parabel, Betragsfunktion, Sinusfunktion und konstante Funktion und können geeignete Definitionsbereiche einschränken. Ein Übungsbereich mit 18 Aufgaben auf den Stufen Basis, Anwendung und Transfer bietet Hinweise, Lösungen und direkte Rückmeldungen.

Inhaltsart: Interaktive Übung
Lernniveau: Sekundarstufe II
Bearbeitungszeit: ca. 35 Minuten

Lernziele

Die Lernenden beschreiben eine Umkehrfunktion als Rückgängigmachen einer eindeutigen Funktionszuordnung.
Die Lernenden erklären den Zusammenhang zwischen dem Koordinatentausch $P(x|y)\rightarrow P'(y|x)$ und der Spiegelung an der Geraden $y=x$ .
Die Lernenden bestimmen Umkehrfunktionen algebraisch durch Vertauschen von $x$ und $y$ und anschließendes Auflösen nach $y$ .
Die Lernenden ordnen Definitions- und Wertemengen einer Funktion den entsprechenden Mengen ihrer Umkehrfunktion zu.
Die Lernenden untersuchen mit dem Horizontalen-Linien-Test, ob eine Funktion umkehrbar ist, und begründen gegebenenfalls eine geeignete Einschränkung der Definitionsmenge.

Interaktiver Inhalt

Bedienhinweise

Wähle zunächst zwischen „Erarbeitung“ und „Übung“. In der Erarbeitung kannst du zwischen linearen, quadratischen und exponentiellen Beispielen wechseln. Ziehe einen der markierten Punkte entlang seines Graphen und beobachte, wie der gekoppelte Punkt auf dem Graphen der Umkehrfunktion seine Koordinaten vertauscht. Vergleiche dabei beide Punkte mit der Spiegelgeraden $y=x$ . Unter „Eigene Funktion“ kannst du einen Funktionsterm und ein Intervall eingeben und mit „Übertragen“ prüfen lassen, ob die Funktion dort eindeutig umkehrbar ist. Arbeite anschließend die Abschnitte zum algebraischen Umformen sowie zu Definitions- und Wertemengen durch. Im Bereich zur Umkehrbarkeit kannst du Parabel, Betrag, Sinus und Konstant auswählen und mit der waagerechten Testlinie untersuchen. Bei geeigneten Beispielen lässt sich die Definitionsmenge über die angebotene Schaltfläche einschränken. Im Übungsbereich wählst du bei Bedarf Basis, Anwendung oder Transfer, beantwortest die Multiple-Choice-Aufgaben und kontrollierst sie mit „Antwort prüfen“. „Hinweis“ und „Lösung anzeigen“ können bei Bedarf eingeblendet werden.

Didaktische Hinweise

Voraussetzungen

Grundkenntnisse zum Funktionsbegriff und zur Schreibweise $f(x)$ .
Grundkenntnisse zum kartesischen Koordinatensystem und zu Funktionsgraphen.
Grundlegende Fähigkeiten zum Umformen von Gleichungen.
Kenntnisse zu Definitions- und Wertemengen sind hilfreich.
(Pädagogisch plausible Empfehlungen)

Typische Fehler

Die Schreibweise $f^{-1}$ wird fälschlich als Kehrwert $1/f$ interpretiert.
Beim Übergang zur Umkehrfunktion werden die Vorzeichen der Koordinaten verändert statt nur $x$ - und $y$ -Koordinate zu vertauschen.
Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion werden an einer Koordinatenachse statt an $y=x$ gespiegelt.
Definitions- und Wertemenge werden bei der Umkehrfunktion nicht vertauscht.
Die Funktion $f(x)=x^2$ wird auf ganz $\mathbb{R}$ fälschlich als eindeutig umkehrbar angesehen.
Beim Horizontalen-Linien-Test wird nicht erkannt, dass mehrere Schnittpunkte einen mehrdeutigen Rückweg anzeigen.

Für den Unterricht

Als Einstieg eignet sich ein einzelner Punkt auf einem Funktionsgraphen, beispielsweise $P(1{,}5|4)$ . Die Lernenden können zunächst vorhersagen, wo der zugehörige Punkt der Umkehrfunktion liegen muss, und anschließend den Koordinatentausch in der Animation überprüfen. Die Animation zeigt für dieses Beispiel $P'(4|1{,}5)$ und verknüpft den Tausch ausdrücklich mit der Spiegelung an $y=x$ . Für die Erarbeitungsphase können Kleingruppen unterschiedliche Funktionstypen untersuchen und jeweils grafische Spiegelung, algebraischen Umkehrweg sowie Definitions- und Wertemenge vergleichen. Anschließend bietet sich der Horizontale-Linien-Test als Übergang zur Frage an, wann überhaupt eine Umkehrfunktion existiert. Parabel, Betrags- und Sinusfunktion ermöglichen dabei direkt den Vergleich vor und nach einer geeigneten Einschränkung. Zur Sicherung können die drei Kernaussagen der Animation festgehalten werden: $x$ und $y$ werden algebraisch vertauscht, die Graphen werden geometrisch an $y=x$ gespiegelt und Definitions- und Wertemenge wechseln ihre Rollen. Für die Differenzierung kann der Übungsbereich gezielt nach Basis, Anwendung und Transfer gefiltert werden; stärkere Lernende können zusätzlich eigene monotone Funktionen und Intervalle eingeben oder Transferaufgaben zu Verkettung, selbstinversen Funktionen und Periodizität bearbeiten.

Quellen & Vertiefung

OpenStax Precalculus: „Inverse Functions“.
Breen et al.: „A study of students’ concept images of inverse functions“.