Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Die Lernumgebung veranschaulicht das empirische Gesetz der großen Zahlen am Würfelereignis „Es fällt eine 6“. Im Modus „Beispieldaten verwenden“ wird ein Würfelversuch mit bis zu 500 Würfen simuliert. Nach jedem Wurf werden Versuchszahl, Anzahl der Sechsen, relative Häufigkeit und der letzte Wurf aktualisiert. Ein Diagramm zeigt den fortlaufenden Verlauf der relativen Häufigkeit zusammen mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit . Begleitende Impulse lenken den Blick auf die anfänglich starken Schwankungen und die zunehmende Stabilisierung bei größerer Versuchszahl.
Im Modus „Eigene Daten eintragen“ geben die Lernenden Anzahl der Versuche und absolute Häufigkeit ein. Die relative Häufigkeit wird automatisch berechnet und aus tatsächlich eingegebenen Zwischenständen als eigener Verlauf dargestellt. In einer entsprechend eingebundenen Lernumgebung können außerdem Ergebnisse mehrerer Gruppen über einen gemeinsamen Raumcode zusammengeführt und als einzelne Gruppenwerte sowie als gemeinsamer Gesamtwert verglichen werden.
- Inhaltsart
- Animation
- Lernniveau
- Sekundarstufe II
- Bearbeitungszeit
- ca. 20 Minuten
Lernziele
- Die Lernenden berechnen relative Häufigkeiten aus Versuchszahl und absoluter Häufigkeit.
- Die Lernenden beschreiben die Schwankungen relativer Häufigkeiten bei kleinen Versuchszahlen.
- Die Lernenden vergleichen eine beobachtete relative Häufigkeit mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
- Die Lernenden untersuchen, wie sich der Verlauf der relativen Häufigkeit bei zunehmender Anzahl von Versuchen verändert.
- Die Lernenden interpretieren Diagramme zur Entwicklung relativer Häufigkeiten.
Interaktiver Inhalt
Bedienhinweise
Wähle zunächst zwischen „Beispieldaten verwenden“ und „Eigene Daten eintragen“. Im Beispielmodus kannst du den Würfelversuch mit „Start“ automatisch ausführen, mit „Pause“ anhalten oder mit „Ein Schritt“ Wurf für Wurf verfolgen. Über „Neu starten“ beginnst du eine neue Versuchsreihe; die Geschwindigkeit lässt sich auf langsam, normal oder schnell einstellen. Beobachte währenddessen besonders, wie stark die relative Häufigkeit zu Beginn schwankt und wie sie sich mit wachsender Versuchszahl zur Referenzlinie verhält. Im Modus „Eigene Daten“ trägst du die Anzahl der Versuche und die Zahl der Treffer ein. Die relative Häufigkeit wird automatisch berechnet und als Messpunkt in das Diagramm übernommen. Gib bei mehreren Zwischenständen jeweils die tatsächlich erhobenen Werte ein. Falls die Synchronisation in der verwendeten Lernumgebung verfügbar ist, können Gruppen mit demselben Raumcode ihre Ergebnisse gemeinsam betrachten.
Didaktische Hinweise
Voraussetzungen
- Grundverständnis von Zufallsexperimenten und Ereignissen.
- Grundkenntnisse zu Brüchen oder Quotienten.
- Grundvorstellung von Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit.
Typische Fehler
- Absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit werden verwechselt.
- Die Trefferzahl wird größer als die Zahl der Versuche eingegeben.
- Aus wenigen Würfen wird bereits auf die theoretische Wahrscheinlichkeit geschlossen.
- Eine vorübergehende Entfernung der relativen Häufigkeit von wird als Widerspruch zum Gesetz der großen Zahlen interpretiert.
- Das empirische Gesetz der großen Zahlen wird fälschlich so verstanden, dass die relative Häufigkeit irgendwann exakt sein müsse.
Für den Unterricht
Für den Einstieg eignet sich die Frage, welcher Anteil an Sechsen nach 10, 50 oder 500 Würfen zu erwarten ist. Die Lernenden können zunächst eine Prognose formulieren und anschließend die Simulation schrittweise starten. Ein sinnvoller Beobachtungsauftrag lautet: „Vergleicht die Schwankungen am Anfang mit denen bei großer Versuchszahl und beschreibt die Beziehung zur Linie .“ Anschließend können Lernende oder Gruppen einen realen Würfelversuch durchführen und ihre Zwischenstände unter „Eigene Daten“ eintragen. Zur Sicherung sollten die Begriffe absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und theoretische Wahrscheinlichkeit voneinander abgegrenzt werden. Falls die Synchronisationsfunktion in der Lernplattform verfügbar ist, eignet sich der gemeinsame Gruppenwert besonders gut, um zu diskutieren, wie sich ein größerer gemeinsamer Stichprobenumfang auf die relative Häufigkeit auswirkt.
Verwandte Inhalte
Parabelwerkstatt – Quadratische Funktionen entdecken, rekonstruieren und Nullstellen bestimmen
Die Lernenden verändern Parameter quadratischer Funktionen und beobachten Graph, Term und Eigenschaften gleichzeitig. Drei geführte Rekonstruktionswege und vier Nullstellenverfahren werden mit gestuften Hilfen, unmittelbarem Feedback und Proben erarbeitet.
Umkehrfunktionen verstehen
Lernende untersuchen, wie Umkehrfunktionen Eingabe und Ausgabe vertauschen. Sie verbinden Koordinatentausch, Spiegelung an , algebraisches Umformen sowie Definitions- und Wertemengen und prüfen, wann eine Funktion umkehrbar ist.
Ebenenformen verstehen und umwandeln
Lernende erkunden Parameterform, Normalenform und Koordinatenform einer Ebene im Raum, verfolgen ihre schrittweise Umwandlung in einer dreh- und zoombaren 3D-Darstellung und üben alle sechs Umwandlungsrichtungen mit Rückmeldungen und Hilfen.