Ober- und Untersummen – vom Rechteck zum bestimmten Integral
Das digitale Lernangebot veranschaulicht die Konstruktion von Ober- und Untersummen für ganzrationale Funktionen. Die Lernenden können zufällige Funktionen erzeugen oder eigene Polynome eingeben, die Integrationsgrenzen verändern und die Anzahl der Teilintervalle dynamisch einstellen.
Für jedes Teilintervall wird bei der Obersumme der größte und bei der Untersumme der kleinste Funktionswert berücksichtigt. Beide Darstellungen lassen sich getrennt ein- und ausblenden. Farbig zugeordnete Berechnungsfelder verdeutlichen den Zusammenhang zwischen Rechteckbreite, Rechteckhöhe und Summenwert.
Eine schrittweise Verfeinerung der Zerlegung zeigt, wie sich Ober- und Untersumme annähern. Für unendlich viele Teilintervalle werden die Grenzwerte mit lim dargestellt und mit dem bestimmten Integral gleichgesetzt. Differenzierte Übungsaufgaben in drei Schwierigkeitsstufen bieten passende Lösungen mit Rechenweg, Koordinatensystem und Rechteckdarstellung. Präsentationsmodi unterstützen den Einsatz im Unterricht.
- Inhaltsart
- Interaktive Übung
- Lernniveau
- Sekundarstufe II
- Bearbeitungszeit
- ca. 25 Minuten
Lernziele
- Die Lernenden erklären, wie Ober- und Untersummen aus Teilintervallen und Rechtecken konstruiert werden.
- Die Lernenden bestimmen die erforderlichen maximalen beziehungsweise minimalen Funktionswerte eines Teilintervalls.
- Die Lernenden berechnen Ober- und Untersummen ganzrationaler Funktionen.
- Die Lernenden untersuchen den Einfluss der Anzahl der Teilintervalle auf die Näherungswerte.
- Die Lernenden beschreiben den Grenzübergang mit O∞ = lim n→∞ Oₙ und U∞ = lim n→∞ Uₙ.
- Die Lernenden erklären den Zusammenhang zwischen Ober-, Untersumme und bestimmtem Integral.
- Die Lernenden berücksichtigen, dass Bereiche unterhalb der x-Achse negativ zum Integralwert beitragen.
Interaktiver Inhalt
Bedienhinweise
Eine Funktion kann eingegeben oder zufällig erzeugt werden. Über die Zahlenfelder werden die Intervallgrenzen festgelegt; der Schieberegler verändert die Anzahl der Teilintervalle bis n = 200. Die Schaltfläche ∞ zeigt den Grenzübergang zum bestimmten Integral. Ober- und Untersumme lassen sich über die farbigen Schaltflächen getrennt ein- und ausblenden. „Annäherung starten“ verfeinert die Zerlegung schrittweise. Im Übungsbereich werden Schwierigkeit, neue Aufgabe und Lösung gewählt. Über „Präsentieren“ kann entweder das Koordinatensystem allein oder gemeinsam mit den Berechnungen im Vollbild gezeigt werden.
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