Mathematik · E.4 Exponentialfunktionen

Die e-Funktion entdecken

Die interaktive Lernumgebung erschließt die e-Funktion in drei aufeinander aufbauenden Bereichen: „Woher kommt e?“, „Eigenschaften“ und „Ableiten“.

Im ersten Bereich wird die Zahl $e$ aus immer feineren Wachstumsschritten entwickelt. Lernende beobachten, wie sich der Endwert beim kontinuierlichen proportionalen Wachstum der Zahl $e \approx 2{,}71828$ annähert und untersuchen die besondere Eigenschaft, dass bei $e^x$ Funktionswert und Steigung zusammenhängen.

Im Bereich Eigenschaften können die Parameter der allgemeinen Form

$f(x)=a\cdot e^{b(x-c)}+d$

interaktiv verändert werden. Dabei lassen sich unter anderem Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Monotonie, Extrema und Symmetrie untersuchen.

Der dritte Bereich widmet sich dem Ableiten von e-Funktionen. Lernende formulieren zunächst eigene Ableitungshypothesen und überprüfen diese grafisch. Dabei wird insbesondere die Regel

$[e^{u(x)}]'=u'(x)\cdot e^{u(x)}$

erarbeitet. Die integrierten Aufgaben enthalten Rückmeldungen, gestufte Hinweise und Lösungen; beim Ableiten werden zusätzlich fortlaufend neue Zufallsaufgaben erzeugt.

Inhaltsart: Interaktive Übung
Lernniveau: Sekundarstufe II
Bearbeitungszeit: ca. 30 Minuten

Lernziele

Die Lernenden erklären, wie die Zahl $e$ aus kontinuierlichem proportionalem Wachstum entsteht.
Die Lernenden beschreiben die besondere Beziehung zwischen Funktionswert und Steigung der Funktion $f(x)=e^x$ .
Die Lernenden analysieren den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ auf den Graphen einer e-Funktion.
Die Lernenden bestimmen Definitions- und Wertebereiche von e-Funktionen.
Die Lernenden untersuchen e-Funktionen hinsichtlich Nullstellen, Monotonie, Extrema und Symmetrie.
Die Lernenden erkennen und interpretieren horizontale Asymptoten von verschobenen e-Funktionen.
Die Lernenden leiten einfache e-Funktionen ab.
Die Lernenden wenden die Faktorregel und die Kettenregel beim Ableiten von e-Funktionen an.
Die Lernenden überprüfen Ableitungshypothesen mithilfe von Funktions- und Ableitungsgraphen.
Die Lernenden übertragen grafische Beobachtungen auf algebraische Eigenschaften von e-Funktionen.

Interaktiver Inhalt

Bedienhinweise

Wähle zunächst einen der drei Lernbereiche „Woher kommt e?“, „Eigenschaften“ oder „Ableiten“. Im ersten Bereich können die Anzahl der Wachstumsschritte, die Basis und die Tangentenstelle über Regler verändert werden. Folge den Entdeckungsschritten mit Zurück und Nächste Entdeckung. Im Bereich Eigenschaften veränderst du die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ über die Regler und beobachtest unmittelbar die Auswirkungen auf den Graphen. Die Parameter steuern unter anderem Streckung bzw. Spiegelung, Wachstumsrichtung und Verschiebungen. Im Bereich Ableiten wählst du eine Beispielfunktion aus und stellst über den Regler eine Vermutung für die Ableitung auf. Mit Vorhersage prüfen kannst du deine Vermutung kontrollieren; über Regel zeigen wird die Ableitungsregel eingeblendet. Über Aufgaben öffnen stehen zu jedem Lernbereich zusätzliche Übungen zur Verfügung. Antworten können geprüft werden; bei Bedarf können gestufte Hinweise und die vollständige Lösung eingeblendet werden.

Lernziele

Interaktiver Inhalt

Bedienhinweise

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