Kombinatorisches Zählen mit dem Urnenmodell

Die interaktive Lernumgebung vermittelt die grundlegenden Zählverfahren der Kombinatorik anhand des Urnenmodells. Ausgangspunkt sind zwei zentrale Fragen: Kann dieselbe Möglichkeit mehrfach gewählt werden und spielt die Reihenfolge der ausgewählten Elemente eine Rolle? Daraus ergeben sich die vier grundlegenden Fälle mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge sowie mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge.

Im Modus Erproben können Lernende die Anzahl verschiedener Kugeln $n$ und die Anzahl der Ziehungen $k$ verändern. Kugeln werden direkt aus einer virtuellen Urne ausgewählt oder zufällig gezogen. Dadurch wird sichtbar, wie sich die Zahl der verfügbaren Möglichkeiten von Ziehung zu Ziehung verändert.

Die jeweilige Zählregel wird anschließend Schritt für Schritt aufgebaut. So wird beispielsweise beim Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge aus dem Produkt $n \cdot n \cdot \ldots \cdot n$ die Regel $n^k$. Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird sichtbar, warum sich die Zahl der Möglichkeiten mit jeder Ziehung verringert.

Eine Formelübersicht stellt alle vier Fälle und ihre Zählregeln direkt gegenüber.

Im Modus Üben können einzelne Fälle oder ein gemischtes Training gewählt werden. Die Aufgaben stehen in den Schwierigkeitsstufen Leicht, Mittel und Schwer zur Verfügung. Lernende entscheiden zunächst über Zurücklegen und Reihenfolge und berechnen anschließend die Anzahl verschiedener Ergebnisse. Gestufte Tipps, Lösungen und unmittelbares Feedback unterstützen das selbstständige Lernen.